ÉLECTRICITÉ - Électromagnétisme

ÉLECTRICITÉ - Électromagnétisme

L’électromagnétisme a pour but d’expliquer tous les phénomènes électriques et magnétiques; il rend compte de toutes les applications de l’électricité: production d’énergie électrique (alternateurs, dynamos...), transport et distribution de l’énergie électrique, utilisation de l’énergie (moteurs, éclairage), ondes électromagnétiques (qui groupent le rayonnement 塚, les rayons X, l’ultraviolet, la lumière visible, l’infrarouge et les ondes radioélectriques). La matière étant composée de particules chargées positivement (noyaux atomiques) et négativement (électrons), on peut dire que l’électromagnétisme est présent au plus intime de la matière. Il constitue une des parties les plus importantes de la physique.

L’histoire de l’électromagnétisme a été marquée par trois grandes étapes. La première (vers 1820), due à Œrsted, Ampère, Arago, Biot, Faraday et Laplace, en a vu la constitution par le rapprochement et l’interprétation de l’électrostatique et de la magnétostatique. La deuxième, marquée par les travaux de Faraday, aboutit avec Maxwell à une formulation mathématique complète (les équations de Maxwell) de l’ensemble des phénomènes; ces équations permettent de montrer que les grandeurs électromagnétiques se propagent: dans l’air ou le vide, la vitesse correspondante à été trouvée, déjà du temps de Maxwell, expérimentalement très voisine de la vitesse mesurée de la lumière. C’est le meilleur argument pour identifier la lumière avec une «onde électromagnétique». La troisième étape est liée à l’élaboration de la théorie de la relativité (Einstein, 1905), suggérée d’ailleurs en partie par certaines des conséquences des équations de Maxwell (on a pu dire que ces équations étaient relativistes sans le savoir). Un des points essentiels des doctrines relativistes est d’avoir montré qu’il ne faut pas considérer, comme en mécanique classique, d’une part les trois variables d’espace et d’autre part le temps, mais au contraire le groupement indissoluble de ces quatres variables; cette idée oblige à admettre que certaines grandeurs (par exemple, champ électrique et induction magnétique) que le physicien classique considère comme séparées sont constituées en réalité par des composantes d’une seule grandeur relativiste. Cela permet de reconsidérer les équations de Maxwell et de les mettre sous une forme plus succincte.

Il existe deux grands types d’exposés de l’électromagnétisme: dans l’un, on déduit, à partir des équations de Maxwell, toutes les lois observables; dans l’autre, à partir de grandes lois expérimentales, on montre comment on a été conduit à imaginer les équations de Maxwell. On emploiera ici la seconde méthode, plus simple pour le non-spécialiste.

1. Les grandes lois de l’électromagnétisme et leurs conséquences

Électrostatique et loi de Coulomb

Électrostatique du vide

Une des lois les plus anciennes de l’électricité est la loi de Coulomb : deux charges électriques au repos placées dans le vide exercent l’une sur l’autre une force proportionnelle à chacune des charges et inversement proportionnelle au carré de leur distance; cette force est une répulsion lorsque les charges sont de même signe, une attraction dans le cas contraire. La formulation mathématique de cette loi est:

où Q^M et Q^M size=1 sont les charges présentes aux points M et M , MMle vecteur unissant le point M au point M , づ^M size=1 la force exercée par la charge Q^M placée en M sur la charge Q^M size=1 placée en M ; le facteur C¹ est lié aux unités choisies pour exprimer les différentes quantités (force, charge, longueur) entrant en jeu; dans le système international d’unités (mètre, kilogramme, seconde, ampère...) sous sa forme rationalisée, on pose:

où la grandeur 﨎⁰ est définie [cf. (32)] par:

(F . m^-1 = farad/mètre), c étant la vitesse de la lumière dans le vide et 猪⁰ une grandeur qui sera précisée plus tard [cf. (16)].

La loi de Coulomb, écrite sous la forme:

montre que l’action sur la charge Q^M size=1 est proportionnelle à une certaine grandeur vectorielle つ^M size=1, qui est le champ électrique au point M . Quand un grand nombre de charges Qⁱ sont placées dans le vide à des points Mⁱ , le champ électrique total au point M s’obtient en généralisant la relation (2), soit:

Le champ électrique ainsi défini jouit d’une propriété très importante: il peut se mettre sous la forme:

c’est-à-dire que, pour un système d’axes trirectangulaires, la composante de つ^M size=1 suivant l’axe Ox 轢, soit:

est liée à la dérivée par rapport à la coordonnée selon Oxdu point M (soit x ) d’une grandeur V désignée sous le nom de potentiel électrique. Ce potentiel n’est défini qu’à une constante près (puisque seules ses dérivées interviennent dans la définition de つ); quand on suppose que le potentiel à l’infini est nul, on obtient:

( 福 désigne la charge électrique volumique), mais seule la notion de différence de potentiel entre deux points possède un sens physique intrinsèque. Un vecteur quelconque n’est pas toujours égal à un gradient; le champ électrique ne possède cette propriété que parce que son rotationnel (rotつ) est nul; ce rotationnel est un vecteur dont la composante sur l’axe Ox(dans un système d’axes trirectangulaires à droite Ox 轢, Oy 轢, Oz 轢) est définie par:

La structure de l’équation (5) permet alors de montrer que:

Une autre propriété importante du champ électrique est liée au théorème de Gauss ; pour cela, il faut considérer un volume v limité par une surface fermée S(v) et évaluer le flux du vecteur 﨎⁰ つ sortant par cette surface; ce flux s’obtient en intégrant sur toute la surface S(v) le produit scalaire 﨎⁰ つ. ょ^sd S, où ょ^s est la normale unitaire sortante de S(v); le théorème de Gauss indique alors que ce flux:

est égal à l’ensemble des charges compris à l’intérieur du volume v, et il est possible d’en déduire que la divergence de 﨎⁰ つ, soit:

est égale à 福:

En remplaçant つ par son expression (4), la relation (8) devient:

où V, le laplacien de V, est égal à:

Conducteurs en équilibre dans le vide

Les conducteurs sont des substances possédant des charges électriques capables d’effectuer des mouvements importants à l’échelle atomique. L’application d’un champ électrique permanent y entraîne donc l’apparition d’un courant permanent. Par définition, les courants sont nuls à l’équilibre et par conséquent:

La relation (4) montre que, pour chaque conducteur en équilibre, V est constant, et, d’après (9), à l’intérieur d’un tel conducteur, la charge électrique volumique 福 est nulle. Les charges d’un conducteur en équilibre ne peuvent donc se trouver qu’à sa surface (on dit que ces charges sont superficielles). Les relations entre charge et potentiel sont linéaires [cf. (6)] et, par conséquent, la variation de la charge (entièrement superficielle) d Qⁱ d’un conducteur quelconque lors d’une variation la plus générale des potentiels V^j des différents conducteurs s’écrit sous la forme:

Dans les conditions habituelles (le potentiel à l’infini est supposé nul), on en déduit:

On appelle coefficient d’influence du corps i sur le corps j la valeur commune de C^ij et C^ji ; c’est au moyen de ces coefficients que l’on peut déterminer la capacité d’un condensateur formé de deux conducteurs ^{[cf. DIÉLECTRIQUES]}.

Connaissant les différents potentiels des différents corps, on peut calculer les charges de ceux-ci; inversement, la connaissance des charges entraîne celle des potentiels (à une constante près); ces problèmes se résolvent à l’aide de la relation (9).

Cas général (présence de diélectriques)

Dans un diélectrique, en revanche, l’application d’un champ électrique permanent n’entraîne pas le passage d’un courant permanent; il y a néanmoins apparition d’une polarisation diélectrique , c’est-à-dire que l’ensemble des charges électriques contenues dans un élément de volume quelconque dv peut être assimilé à un dipôle de moment dpformé de deux charges de module |d Q| identique, la charge + |d Q| étant au point M⁺, la charge 漣 |d Q| au point M^-; on note par définition:

quand le champ appliqué est nul, les points M^- et M⁺ sont confondus et dpest nul. La polarisation électrique は est définie par:

On sait calculer [cf. (6)] le potentiel dû à un ensemble de charges et, par conséquent, en particulier, le potentiel V correspondant à un dipôle; il est donc possible d’obtenir le potentiel V^P relatif à l’ensemble des dipôles de polarisation et de montrer que:

L’intégrale triple est étendue au volume du diélectrique et l’intégrale double à la surface qui limite ce corps. La distance |MM 轢| entre le point M où l’on calcule V^P et le point M où se trouve l’élément d v ou d S considéré est notée r . Par comparaison avec l’expression (6), on voit que tout se passe comme si, à l’intérieur du diélectrique, on avait une charge électrique volumique 福^P (la charge électrique volumique fictive de polarisation) déterminée par:

on ne détaillera pas les phénomènes superficiels. En adoptant la règle:

et en conservant つ = 漣 gradV, on trouve que [cf. (8)]:

Le champ électrique つ dépend ainsi des charges vraies et des charges fictives de polarisation. Par contre, il est possible d’inventer une grandeur っ, l’induction électrique (désignée encore quelquefois par « déplacement électrique »), dont la divergence ne dépende que des charges vraies; il suffit en effet de poser:

pour trouver:

Ainsi, l’énoncé général du théorème de Gauss (c’est évidemment cet énoncé qu’il convient de retenir) est:

Dans un grand nombre de substances (diélectriques idéaux), face="EU Arrow" は est proportionnel à つ, et on peut alors poser:

dans le vide, il ne peut y avoir apparition de dipôles, は est donc nul et [cf. (11)]:

les diélectriques idéaux possèdent ainsi des analogies formelles avec le vide. Le rapport 﨎/ 﨎⁰ joue un grand rôle dans les problèmes de répartition de champ et d’induction électrique ^{[cf. DIÉLECTRIQUES]}.

Énergie électrostatique

Pour évaluer l’énergie électrostatique, on cherche d’abord la contribution 嗀 輪 ^e qu’apporte à cette énergie l’apparition d’une charge 嗀Q en un point M où le potentiel est V^M; le travail 嗀 淪^e nécessaire pour amener cette charge de l’infini est:

grâce aux conventions habituelles (V size=1^秊 = 0); d’après l’identité:

on trouve que:

Il est important de considérer une charge élémentaire: ses déplacements ne modifient pas les potentiels; il n’en serait pas de même pour une charge finie Q. Il ne faut surtout pas conclure de l’expression différentielle exacte 嗀 輪 ^e = 嗀QV^M que 輪 ^e = QV^M. Pour l’ensemble de la matière, on peut écrire que:

où 嗀福^M est la variation de la densité de charge électrique volumique vraie au point M; sous des conditions assez générales, il est possible de transformer l’intégrale triple et d’écrire:

tout se passe alors comme si la variation de l’énergie volumique U^e était:

( 嗀Dest évidemment la variation de っ liée à 嗀福). Dans le cas des substances idéales (face="EU Arrow" っ = 﨎 つ), il est possible d’obtenir cette énergie volumique:

Électrocinétique et loi d’Ohm

Dans un très grand nombre de corps, on observe que la densité de courant électrique ど, dont le module J est égal à d I/d S, rapport de l’intensité de courant relatif à une section à l’aire d S de cette section, est proportionnelle au champ électrique つ:

à condition que la température et la composition chimique soient uniformes; 塚 est la conductivité électrique du corps. La relation (13), ou celle que l’on peut en déduire entre les modules de l’intensité du courant I et de la tension V relatifs à un tronçon de longueur L d’un corps de section s constante:

par l’intermédiaire de la résistance R, est connue sous le nom de loi d’Ohm ; si l’on veut obtenir la relation complète (avec signe), il suffit de multiplier scalairement (13) par un vecteur d Ld’un sens bien déterminé (exemple: sens 12 轢, fig. 1) pour obtenir:

où J 轢¹² et I 轢¹² sont la densité et le courant repérés dans le sens 12 轢; si on adopte pour V les mêmes conventions qu’en géométrie (ABse note B 漣 A), on voit que la loi d’Ohm s’applique avec le signe «moins» quand les flèches destinées à repérer les sens de mesures de V et I sont de même sens, avec le signe «plus» dans le cas contraire (fig. 1). On a un peu insisté sur cette question de signe parce qu’elle est trop souvent méconnue; l’article CIRCUITS ÉLECTRIQUES donne des exemples corrects d’utilisation de la loi d’Ohm.

Celle-ci n’est pas une loi universelle; elle est valable seulement pour certains corps dans certaines conditions (température, composition).

Signalons encore que lorsque aucune charge électrique ne disparaît, ど et 福 sont reliés par l’équation de continuité:

Pertes d’énergie

Si un courant continu traverse l’échantillon (L, s ) déjà considéré, on sait que la puissance perdue par effet Joule est égale à:

soit encore, en introduisant la densité de courant (J = I/s ):

Cette dernière expression est importante parce qu’elle peut être généralisée: l’expérience montre que, quelles que soient les circonstances (loi d’Ohm valable ou non), la densité P de la puissance dissipée s’obtient toujours au moyen de:

Magnétostatique. Loi de Biot-Savart-Laplace

Magnétostatique du vide

On désigne par élément de courant I dlce qui est relatif à un tronçon de longueur dld’un circuit électrique, la flèche sur dlindiquant le sens de parcours du courant; de la notation Idl 轢, valable pour un élément de circuit, on passe à la notation ど d v:

dans le cas d’une distribution de courant. La loi de Biot-Savart-Laplace est analogue à la loi de Coulomb: deux éléments de courant placés dans le vide exercent l’un sur l’autre une force proportionnelle à leur intensité et inversement proportionnelle au carré de leur distance; pour tenir compte des orientations relatives des différents vecteurs, il faut écrire cette loi sous la forme:

le facteur C² est lié aux conventions adoptées (cf. le facteur C¹ de la loi de Coulomb); dans le système international rationalisé, on pose:

où la grandeur 猪⁰ est définie par:

(H . m^-1 = henry/mètre); les éléments I dlet I dlsont respectivement situés aux points M et M .

La relation (15) montre que la force agissant sur l’élément de courant I dlest proportionnelle à l’élément d B ぬ d’une certaine grandeur vectorielle; cette grandeur vectorielle est l’induction magnétique ち^M size=1 au point M ; la partie de cette induction due à l’élément de courant I dlsitué au point M est (loi de Biot et Savart):

de sorte que l’induction ち^M size=1 s’obtient en effectuant l’intégrale:

portant sur tous les éléments de courant présents. Dans ces conditions, la force agissant sur I dls’obtient par (loi de Laplace):

La force, la direction du courant et l’induction magnétique forment un trièdre trirectangle à droite.

L’induction magnétique ainsi définie jouit d’une propriété très importante: elle peut se mettre sous la forme:

cela n’est possible que parce que:

cette dernière relation peut être vérifiée à partir de (17). Le vecteur だ est le potentiel vecteur magnétique et joue un rôle analogue à celui du potentiel scalaire V; cette analogie est mise en évidence quand on compare l’expression de だ:

avec celle (6) relative à V.

Une autre propriété importante de l’induction magnétique, dans le vide, est le théorème d’ Ampère ; si on considère un contour fermé 臨 et la surface S ( 臨) limitée par 臨, on peut montrer que:

où l’intégrale exprime la circulation de ち/ 猪⁰ le long du contour 臨, tandis que la somme portant sur les intensités est relative à tous les circuits qui traversent la surface S( 臨); le signe est plus ou moins selon les dispositions géométriques considérées (fig. 2): quand le sens d’intégration choisi sur 臨 correspond au sens de I par l’intermédiaire d’une vis à droite (tire-bouchon), on doit choisir le signe «plus». Dans le cas d’une distribution continue de courant, définie par une densité de courant ど en tous points, la relation (21) devient:

où le sens de d S 轢( 臨) correspond au sens de déplacement longitudinal du tire-bouchon quand on tourne dans le sens choisi sur 臨. À partir de (22), il est possible de montrer que:

En remplaçant ち par son expression (18), on peut aboutir à:

où, en coordonnées trirectangulaires, だ est un vecteur de composantes Aⁱ .

Cas général (présence de matières magnétiques)

L’ensemble des équations (19) à (23) suffit pour traiter les problèmes de courant dans le vide (ou dans l’air). Il reste à examiner le cas où des matières aimantées sont présentes. En général, quand une matière est soumise à un champ magnétique, elle s’aimante, c’est-à-dire que chacun de ses éléments de volume dv contient l’équivalent d’une petite boucle de courant (intensité du courant I, aire de la surface limitée par la boucle d S), dont on définit le moment magnétique d ぬ au moyen de:

(le sens de d Scorrespondant au sens de I par la règle du tire-bouchon). L’intensité d’aimantation ぬ est en chaque point définie par:

Le potentiel vecteur magnétique だ ^a relatif à l’ensemble des moments magnétiques

traduisant les phénomènes d’aimantation peut s’obtenir à l’aide de la relation:

où l’intégrale triple est étendue au volume de la matière aimantée et l’intégrale double à la surface qui limite cette matière. La distance entre M (point où だ ^a est calculé) et le point courant est noté r . Par comparaison avec l’expression (20), tout se passe comme si, à l’intérieur de la matière aimantée, on avait une densité de courant ど^a (la densité des courants ampériens fictifs) déterminée par:

(on ne détaillera pas les phénomènes superficiels). En adoptant la règle:

et en conservant:

on trouve que [cf. (23)]:

L’induction magnétique dépend ainsi des courants vrais et des courants fictifs ampériens. Par contre, il est possible d’inventer une grandeur で, le champ magnétique (désigné encore quelquefois par «excitation magnétique»), dont le rotationnel ne dépende que des courants vrais; il suffit en effet de poser:

pour trouver:

On voit ainsi que l’énoncé général du théorème d’Ampère (c’est évidemment cet énoncé qu’il convient de retenir) est:

Dans un grand nombre de substances (matières aimantées idéales), face="EU Arrow" ぬ est proportionnel à で, et l’on peut alors poser:

Dans le vide, il ne peut y avoir de boucle de courant; ぬ est donc nul et [cf. (25)]:

les matières aimantées idéales possèdent ainsi des analogies formelles avec le vide. Le rapport 猪/ 猪⁰ joue un grand rôle dans les problèmes de répartition de champ et d’induction magnétiques.

Analogies entre électrostatique et magnétostatique

Dans la présentation adoptée ici, il existe des analogies entre つ et ち d’une part, entre っ et で d’autre part comme le montre le tableau 1: les grandeurs つ et ち permettent de calculer les forces, mais ne sont pas liées simplement [cf. (10) et (24)] aux causes premières des phénomènes ( 福 et ど). Les grandeurs っ et で sont directement liées au contraire à ces causes.

Historiquement (Maxwell), on avait d’abord cherché à établir des analogies entre つ et で d’une part, entre っ et ち d’autre part; le vocabulaire (champs électrique つ et magnétique で, inductions électrique っ et magnétique ち) est un témoignage de cette étape. Dans ce premier système d’analogie, la présence de matière aimantée se traduit par l’apparition, non pas de courants fictifs (face="EU Arrow" ど^a = rotぬ), mais de «masses» magnétiques fictives (de densité volumique 福^a = 漣 div ぬ), ces masses magnétiques fictives étant analogues aux charges fictives de polarisation ( 福^P = 漣 div は) des corps diélectriques.

La loi de Faraday

Le flux magnétique 淋 relatif à un contour C s’obtient au moyen de:

Le caractère intrinsèque de cette notion la rend intéressante: 淋 ne dépend pas de la forme de la surface S(C) pourvu que cette surface soit limitée par le contour C (cette propriété est liée à la relation div ち = 0). La loi de Faraday est relative aux variations temporelles de ce flux et s’énonce sous la forme:

cette loi est également intrinsèque: si on change le sens de parcours le long de C, on change de signe la première intégrale; il en est de même pour d S 轢(C) (d’après la règle du tire-bouchon); il est important de remarquer que l’on doit considérer la dérivée totale par rapport au temps du flux 淋, et ce quelles que soient les causes de variations: déplacement du contour C, déformation de ce contour, variation temporelle des sources de ち et toutes combinaisons. À partir de la loi de Faraday, on peut extraire une loi locale:

on avait trouvé que ce rotationnel était nul en électrostatique où les phénomènes ne dépendent pas du temps; on sait que ち = rotだ, donc que つ et 漣 (face=F0019 煉 だ)/(face=F0019 煉t ) ont le même rotationnel; ils ne diffèrent que par un gradient et on peut écrire dans le cas général [cf. (4)]:

Lorsqu’on déplace un circuit, on doit lutter contre la force de Laplace, et on pourrait croire que l’on peut déterminer ainsi simplement l’énergie de nature magnétique (cf. infra ); lors de ce déplacement, la loi de Faraday montre qu’il y a également création d’un champ électrique; il s’ensuit une autre cause de variation d’énergie. L’ensemble des calculs permet d’obtenir la variation d’énergie magnétique:

tout se passe donc comme si la variation de l’énergie volumique correspondante était:

( 嗀B étant la variation relative à la variation des sources considérée). Dans le cas de substances idéales (face="EU Arrow" ち = 猪 で), il est possible d’obtenir cette énergie volumique:

2. Équations de Maxwell

Équations de base et lois liées à la matière

On vient de voir comment, à partir de grandes lois macroscopiques (loi de Coulomb, loi de Biot-Savart-Laplace, loi de Faraday) et de leurs conséquences, on pouvait atteindre les différents phénomènes électromagnétiques. Ces grandes lois n’ont jamais pu être vérifiées directement de façon précise, et il vaut mieux les justifier en indiquant que toutes les prévisions que l’on a pu en tirer ne sont pas contraires aux expériences; on arrive ainsi à l’idée d’une présentation quasi axiomatique de l’électromagnétisme: à partir de quelques expressions bien choisies admises a priori, on doit pouvoir déduire l’ensemble des phénomènes observables [de même que la mécanique rationnelle prend pour base づ = d /(dt ) (m )]. Maxwell a proposé, dans la seconde moitié du XIX^e siècle, les équations suivantes (équations de Maxwell):

Les expressions de ち et つ ne peuvent être quelconques: la divergence de ち étant nulle, ち doit prendre la forme:

ce qui montre que, つ et 漣 (face=F0019 煉 だ)/(face=F0019 煉t ) ayant même rotationnel,

Les équations de Maxwell ne suffisent pas pour résoudre les problèmes électromagnétiques; il faut encore leur adjoindre des renseignements énergétiques, en indiquant que la variation de l’énergie volumique relative aux phénomènes électromagnétiques s’obtient au moyen de:

Aux équations générales électromagnétiques et énergétiques, il convient d’ajouter trois relations qui définissent, pour la matière étudiée, は et ぬ (polarisation électrique et intensité d’aimantation), ainsi que ど, en fonction des différents paramètres utiles. Pour simplifier les problèmes, on prend souvent, à titre d’approximation, les «lois» suivantes:

﨎, 猪, 塚 étant des scalaires pour le matériau considéré.

Ces approximations peuvent être, selon les cas, très bonnes, correctes, ou médiocres (face="EU Arrow" ち = 猪 で pour le fer est une loi médiocre).

Il faut distinguer les équations de Maxwell et l’équation énergétique, toujours valables, des relations approchées; les premières ne font intervenir aucune constante propre à la matière étudiée; les secondes sont liées à des constantes de ce type ( 﨎, 猪, 塚 dans l’exemple choisi). Abandonner div っ = 福 entraînerait une révision déchirante de toute la physique; les corps qui n’obéissent pas à la «prétendue loi» d’Ohm ne compromettent pas l’électromagnétisme.

Phénomènes ne dépendant pas du temps

Quand les phénomènes ne dépendent pas du temps, on voit que les quatre équations de Maxwell se séparent en deux groupes de deux, les équations de l’électrostatique:

d’une part, et les équations de la magnétostatique:

d’autre part. C’est cet aspect particulier qui a fait longtemps croire (jusque vers 1820) qu’il n’y avait aucun lien entre les phénomènes électriques et les phénomènes magnétiques. On remarquera que, dans le chapitre 1, on a «démontré» les lois locales (7), (12), (19), (26) à partir des grandes lois macroscopiques.

Phénomènes dépendant du temps

Quand les phénomènes dépendent du temps, il existe deux relations de passage entre le groupe électrique (face="EU Arrow" つ, っ) et le groupe magnétique (face="EU Arrow" ち, で); l’une, rotつ = 漣 (face=F0019 煉 ち)/(face=F0019 煉t ), était déjà connue comme une conséquence de la loi de Faraday; l’autre, rotで = ど + (face=F0019 煉 っ)/(face=F0019 煉t ), est nouvelle quant à la présence du terme en (face=F0019 煉 っ)/(face=F0019 煉t ) (ce dernier terme a été introduit par Maxwell). Ces relations de passage montrent le caractère indissoluble des phénomènes électriques et magnétiques (qu’il convient donc de nommer phénomènes électromagnétiques) et expliquent les phénomènes de propagation électromagnétique.

Considérons un corps isolant ( 塚 = 0, 福 = 0) et idéal (face="EU Arrow" っ = 﨎 つ, ち = 猪 で); en combinant les relations (30) et (31), on aboutit à:

L’aspect essentiel de ces équations aux dérivées partielles est la combinaison de dérivées secondes par rapport aux variables d’espace ( ) et de la dérivée seconde par rapport au temps; pour comprendre ce que signifie cette combinaison, examinons l’équation la plus simple de ce type:

où f peut être une composante de つ ou で. Envisageons une fonction quelconque f ( ) d’un paramètre défini au moyen de:

où u est une constante qui possède obligatoirement les dimensions d’une vitesse puisque est homogène à un temps. Le calcul amorcé par:

montre que l’équation aux dérivées partielles est satisfaite quelle que soit la fonction f ( ), à condition que:

Pour comprendre le rôle de la vitesse u définie ainsi, on suppose qu’au point x ¹, au temps t ¹, on observe un état défini par f ( ⁰) avec:

le même état sera observé au temps t ² en un point x ² correspondant à la même valeur de , soit:

ce qui montre que:

c’est-à-dire que le point (x , t ) où l’on observe le même état se déplace avec la vitesse u . Ce phénomène («propagation») ne doit pas être confondu avec un déplacement de matière; c’est pour marquer la différence que l’on désigne souvent u (32) par « célérité » des phénomènes de propagation, le mot «vitesse» étant réservé au déplacement de matière.

Dans le cas d’un corps idéal ( 﨎, 猪), les équations qui régissent les potentiels だ et V sont:

quand on a imposé (ce qui est toujours possible) la relation, connue sous le nom d’«invariance de jauge»:

Les solutions des équations (33) et (34) prennent la forme dite des potentiels retardés:

parce que les valeurs de ど et 福 ne doivent pas être considérées au temps t où l’on cherche à évaluer les potentiels だ et V, mais à un temps t = t 漣 (r /u ) en avance sur t , la différence correspondant au temps de parcours à la vitesse u (que nous avons déjà définie) de la distance r entre les points M (x , y , z ) et M (x , y , z ); ainsi apparaît un nouveau rôle de cette vitesse de propagation.

Ces ondes constituent un des phénomènes les plus importants de toute la physique. Pour les étudier, on cherche ce que les équations générales imposent à une propagation du champ électrique effectuée suivant une direction bien déterminée (que l’on choisit sur l’axe Ox 轢) quand on suppose que つ, d’amplitude maximale つ⁰ constante, varie cosinusoïdalement en fonction du temps. D’après les remarques précédentes, on sait déjà que la structure:

est obligatoire. La relation div つ = 0 montre alors que つ⁰, fixe par hypothèse, est perpendiculaire à Ox 轢; en choisissant l’axe Oydirigé suivant cette direction fixe de つ, on montre que で est dirigé suivant Oz(Ox 轢, Oyet Ozformant un trièdre trirectangle à droite) et que:

quand:

Les champs つ et で sont donc transversaux; ils n’ont aucune composante longitudinale suivant Ox(fig. 3).

Maxwell avait été conduit à rapprocher la propagation des ondes électromagnétiques de celle de la lumière ; le fait historique important dans cette voie a été de trouver des résultats très semblables pour, d’une part, la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide ou l’air [par l’intermédiaire – cf. (32) – de c = ( 﨎⁰ 猪⁰) size=1^漣1/2 et de mesures électriques] et, d’autre part, la vitesse de la lumière dans les mêmes conditions (par des moyens classiques). Il est possible de retrouver par des raisonnements d’ordre purement électromagnétique les grandes lois de l’optique: réflexion et réfraction. La lumière polarisée est une lumière pour laquelle la direction du champ つ (et donc de で) est bien déterminée; le plan de polarisation est défini par la direction constante de つ et la direction de propagation. Pour la lumière naturelle, pendant un train d’ondes (de l’ordre de 10^-8 s), la direction de つ est déterminée, mais, pendant le train d’ondes suivant, つ possède une autre direction indépendante de la première.

Les ondes électromagnétiques ne comprennent pas seulement les phénomènes lumineux: d’après la fréquence f ( 諸 = 2 神f ) ou la longueur d’onde= c /f , on distingue les différents domaines indiqués dans le tableau 2.

Les ondes électromagnétiques ne peuvent se propager sans atténuation que dans les milieux non conducteurs. Pour les bons conducteurs (les métaux par exemple) et dans le cas de phénomènes sinusoïdaux, l’expression du champ つ est du type:

où 嗀, la «profondeur de peau», s’obtient par:

L’expression de で a la même forme que celle de つ^y , ce qui montre que, dans un bon conducteur, les valeurs importantes de つ et で ne peuvent être localisées que dans une couche (dont l’épaisseur est de quelques 嗀) située à la surface de ces conducteurs. Ce phénomène est d’autant plus marqué que 諸 est plus grand ( 嗀 diminue quand 諸 augmente). À titre d’exemple, pour le cuivre 嗀 est égal à 0,9 cm pour 50 Hz, à 0,06 mm pour 1 MHz ( = 300 m) et à 0,6 猪m pour 10 000 MHz. Ces phénomènes sont très importants dans la pratique et expliquent en particulier pourquoi il faut abandonner, quand la fréquence devient trop élevée (face=F0019 年 1 000 MHz), la transmission par fil pour la transmission par guide d’onde (dans laquelle les champs つ et で sont confinés à l’intérieur d’un tuyau – «guide» – métallique).

3. Électromagnétisme relativiste

Caractère de symétrie des différentes grandeurs. Vecteurs polaires et vecteurs axiaux

Une relation entre deux grandeurs (par exemple a = b ) ne peut être intéressante – c’est-à-dire générale – que si les grandeurs a et b sont de même nature . On sait que a et b doivent avoir mêmes dimensions (cf. analyse et similitude DIMENSIONNELLES). Le physicien exige encore que a et b soient de même nature vectorielle : l’égalité entre a et b ne peut être intrinsèque que si ces deux grandeurs sont soit des vecteurs, soit des quantités non vectorielles (scalaires). L’examen des différents vecteurs montre qu’ils peuvent être polaires ou axiaux. Les vecteurs polaires sont indépendants de toute convention, et en particulier du choix des axes de coordonnées; les forces, vitesses, champs électriques sont de bons exemples de vecteurs polaires. Le champ magnétique créé par une boucle de courant permet de comprendre la notion de vecteur axial: utilisons d’abord (fig. 4 a) des axes trirectangles à droite (Oxest rabattu sur Oyen tournant de 90⁰ un tire-bouchon qui s’enfonce suivant Oz 轢); la même règle du tire-bouchon détermine le «sens» de で^d ; dans le cas d’axes à gauche (fig. 4 b), on doit prendre la convention contraire et pour les axes et pour fixer le sens de で^g . La figure 4 c donne la représentation intrinsèque de で: ce vecteur axial H est bien porté par la droite perpendiculaire au plan de la boucle, mais le sens qu’il convient de lui attribuer est un sens de rotation autour de la droite support. On doit maintenant se persuader que toute convention (tire-bouchon de Maxwell, bonhomme d’Ampère, etc.) cache l’intervention de vecteurs axiaux. La distinction entre les vecteurs polaires (exemple っ) et vecteurs axiaux (H) – dont les caractères de symétrie sont bien illustrés par la considération d’un condensateur ou d’un solénoïde (fig. 5) – est essentielle parce qu’il ne peut y avoir d’égalité qu’entre vecteurs de même nature. En distinguant les deux types de vecteurs, les équations de Maxwell doivent s’écrire:

et permettent alors d’effectuer des exposés plus rigoureux que celui présenté au début de cet article. Il faut par exemple distinguer (fig. 6) le vecteur de surface polaire d S= ょ^sd S, relatif à une surface fermée où le vecteur unitaire ょ^s est défini par la normale sortante (d Sdoit être utilisé dans le théorème de Gauss portant sur っ 練 ょ^sd S), et le vecteur de surface axial d S = n ^c d S, relatif à une surface qui est limitée par un contour C sur lequel un sens de parcours a été défini (d S doit être utilisé pour la définition des flux d’induction magnétique au moyen de termes en B 練 d S).

La notion de tenseur

En approfondissant davantage la notion de vecteur axial, on s’aperçoit que les composantes de ces vecteurs comportent toujours naturellement deux indices: par exemple B = rot だ (face="EU Arrow" だ, comme une densité de courant, est un vecteur polaire) correspond dans des axes à droite à:

et pour des axes à gauche à:

il est beaucoup plus normal de noter ces composantes sous la forme générale:

avec (B^x )^d = B^yz et (B^x )^g = B^zy .

De même, les produits vectoriels de vecteurs polaires (par exemple ど 廬 MM 轢) sont naturellement notés par deux indices:

Les composantes des vecteurs polaires (vitesse, champ électrique) ne comprennent par contre qu’un seul indice (ex.: E^x , E^y , E ^z). C’est ce nombre «naturel» d’indices qui fait la différence entre les deux types de vecteurs et, dans un langage plus savant, on dit que les vecteurs polaires sont des tenseurs du premier ordre (composantes à un indice), tandis que les vecteurs axiaux sont des tenseurs du deuxième ordre (deux indices). La notion de tenseur généralise la notion de vecteur. Le tenseur 轢轢B (les deux flèches indiquent le deuxième ordre) défini par (39) comprend neuf composantes:

que l’on peut écrire encore [cf. (37) et (38)]:

en remarquant que Bⁱⁱ est identiquement nul.

L’introduction de la notion de tenseur permet d’affirmer qu’une relation entre deux grandeurs ne peut être générale que si ces grandeurs ont mêmes dimensions et même caractère tensoriel (ordre en particulier). Il faut donc savoir distinguer les tenseurs des différents types; sans entrer dans les détails, on peut indiquer néanmoins que cette distinction est basée sur la notion d’invariant: quand une certaine combinaison linéaire (de structure mathématique différente pour le premier ordre, deuxième ordre, etc.) des composantes d’une grandeur forme un invariant, et ce quel que soit le choix des axes de coordonnées, on peut affirmer que cette grandeur est un tenseur (du premier ordre, du deuxième, etc.).

La relativité

On ne désire pas donner ici un exposé, même succinct, de la relativité ^{[cf. RELATIVITÉ]}, mais on peut néanmoins indiquer qu’Einstein, après avoir critiqué les notions d’espace et de temps, a montré que, en principe, la distance d M entre deux points, définie par:

n’a pas de sens: cette «distance» n’est pas la même quand on la mesure dans deux systèmes de coordonnées se déplaçant l’un par rapport à l’autre; elle n’est donc pas une quantité intrinsèque. En revanche, quand on considère le point M(x , y , z , temps t ) et le point M (x + dx , y + dy , z + dz , temps t + dt ), on trouve toujours, pour deux systèmes de coordonnées en déplacement uniforme l’un par rapport à l’autre, la même valeur pour:

où c est la vitesse de la lumière. C’est l’intervention de la vitesse de la lumière dans (40) qui montre que, dans la plupart des problèmes, pour lesquels les vitesses de déplacement relatives sont en général faibles devant la vitesse de la lumière, la mécanique newtonienne, fondée sur l’invariance de d M², fournit des résultats satisfaisants. En principe, néanmoins, l’invariance de ds ² montre que l’on ne peut dissocier les variables d’espace du temps et qu’il faut considérer de façon indissoluble un groupe de quatre variables. Si ces quatre variables sont x ¹ = x , x ² = y , x ³ = z , x ⁴ = jct (j symbole des imaginaires tel que j ² = 漣 1), l’invariant:

prend la forme habituelle de la «distance» en mécanique newtonienne, ce qui permet souvent d’en conserver le langage.

L’apport de la relativité à l’électromagnétisme

La relativité, née en partie de l’électromagnétisme, a permis d’opérer de fructueux rapprochements parmi les grandeurs électriques. Dans l’espace «à quatre dimensions» que l’on doit considérer, les vecteurs (tenseurs du premier ordre) ont quatre composantes, tandis que les tenseurs du deuxième ordre en ont 4², soit 16. Dans ce cadre, la densité de courant relativiste 轢 琉 a pour composantes J^x , J^y , J^z et j 福c , ce qui montre que le potentiel vecteur relativiste 轢 遼 est défini par A^x A^y A^z et j (V/c ) [cf. la parenté des expressions (35) et (36)]. Dans ces conditions, l’induction magnétique relativiste 轢轢 龍 est un tenseur dont les composantes définies par:

sont groupées dans le tableau suivant:

L’intérêt de ces considérations est de montrer que つ et B sont indissolublement liés: ils sont définis à partir des composantes d’une même grandeur. Il est alors possible de montrer que la loi de Laplace provient d’un simple changement de coordonnées (en considérant deux systèmes d’axes en translation uniforme l’un par rapport à l’autre avec une vitesse ), et même que la loi de Coulomb (1) et la loi de Biot-Savart-Laplace (15) ne sont en réalité qu’une seule loi relativiste.

4. Micro-électromagnétisme et macro-électromagnétisme

Il existe deux grandes méthodes de présentation des phénomènes physiques; l’une d’elles adopte un point de vue macrophysique , c’est-à-dire choisit d’ignorer systématiquement l’existence d’atomes, de noyaux atomiques, d’électrons, etc.; l’autre, tenant de la microphysique , s’efforce au contraire, à partir de la considération de particules élémentaires et des forces qui agissent entre elles, de retrouver les lois observables qui sont presque toujours macroscopiques. En électromagnétisme, quand on indique que le potentiel V est constant dans un conducteur en équilibre, on adopte un point de vue macroscopique: le véritable potentiel varie évidemment quand on passe d’un point situé à 0,01 nm d’un centre d’un ion à un point situé à 0,1 nm, la distance entre deux ions premiers voisins étant de l’ordre de 0,3 nm; de même, écrire que dans ce même conducteur la charge électrique volumique 福 est nulle oblige à supposer que les éléments de volume dv qui permettent de définir 福 par 福 dv = d Q (où d Q est la charge contenue dans dv ) sont des éléments de volume grands à l’échelle atomique (et non pas des éléments de volume tendant vers zéro). Lorentz (1906) a eu l’idée de considérer systématiquement le point de vue microphysique de la description électromagnétique de la matière; c’est-à-dire que, pour lui, les éléments de volume dv qui permettent de définir 福 size=1^猪 ( 福 à l’échelle microscopique) et ゃ (densité de courant à la même échelle) sont infiniment petits, même à l’échelle atomique; pour Lorentz, par conséquent, il n’y a plus de matière, il n’y a que des particules (électrons, noyaux atomiques) dans le vide, et les équations de Maxwell relatives aux champs et induction «à petite échelle» ( ま, ぽ, b , h ) s’écrivent:

puisque ぽ = 﨎⁰ ま et b = 猪⁰h . Ces équations contiennent en général beaucoup trop de renseignements, et nous n’allons considérer que des moyennes: 麗 ま 礪 est défini en un point M au temps t en considérant la moyenne de ま pour des temps compris entre t 漣 精 et t + 精 et pour des points compris dans une petite sphère (suffisamment grande à l’échelle des variations que l’on désire supprimer) centrée sur M. Dans ces conditions, il est possible de montrer que:

Pour essayer de passer des équations microscopiques aux équations macroscopiques, Lorentz a posé

Dans ces conditions les équations (42) et (43) redonnent identiquement (29) et (30). La charge volumique moyenne 麗 福 size=1^猪 礪 est liée à toutes les charges; certaines de celles-ci (repérées par 福^ext et liées soit aux charges libres de l’espace, soit aux charges dites superficielles situées en réalité dans une très fine pellicule à la surface des matériaux) peuvent être atteintes par le macrophysicien; il n’en est pas de même pour les charges (de densité 福^P) situées à l’intérieur des diélectriques et résultant de la variation spatiale de la polarisation は. La densité 福^P = ( face=F0019 漣 div は) est une densité moyenne, puisqu’elle dépend de は liée à つ (= 麗 ま 礪 ); il est donc intéressant de poser:

pour voir que 福^ext (la charge volumique 福 sans indice de la macrophysique) est égale à la divergence d’une certaine grandeur っ (= 﨎⁰ つ + は):

De même, le macrophysicien définira la densité de courant ど qu’il sait imposer (en faisant passer des courants dans des circuits) au moyen de:

le terme en rotM est égal à la densité ど^a des courants ampériens liés aux phénomènes se produisant à l’intérieur des milieux aimantés, tandis que (face=F0019 煉 は)/(face=F0019 煉t ) traduit l’existence d’une densité de courant ど^P, qui correspond à la variation temporelle de la polarisation par l’intermédiaire de l’équation de continuité [cf. (14)]:

la relation (44) devient dans ces conditions:

ce qui fournit bien l’équation macroscopique (31) en posant:

Il ressort de cet exposé l’existence de deux points de vue:

– celui du physicien pur, qui s’intéresse à la microphysique et pense que la densité de courant importante ゃ, à la rigueur 麗 ゃ 礪:

comprend non seulement les courants imposés simplement de l’extérieur ど, mais également les courants ampériens et le terme en (face=F0019 煉 は)/(face=F0019 煉t );

– celui du physicien appliqué (ingénieur obligé de s’intéresser à la macrophysique), qui pense que la véritable densité de courant ど (celle qu’il définit en faisant passer des courants dans des circuits) s’obtient par (45) après avoir retiré de 麗 ゃ 礪 les courants «fictifs» (point de vue du macrophysicien) ampériens et (face=F0019 煉 は)/(face=F0019 煉t ).

Suivant les résultats recherchés, il vaut mieux utiliser l’un ou l’autre point de vue; la seule précaution nécessaire est de bien distinguer les différentes grandeurs ゃ, 麗 ゃ 礪, ど (il règne une grande confusion à ce sujet!) pour pouvoir par exemple apprécier, dans le cas où les phénomènes ne dépendent pas du temps, la différence entre roth = ゃ, rot(B/ 猪⁰) = 麗 ゃ 礪 et rotH = ど.

5. Présentation de l’électromagnétisme et choix des unités

La question des unités de l’électromagnétisme est l’une des plus débattues et l’une des plus irritantes pour les physiciens. Le moins que l’on puisse dire est que l’unanimité est loin d’être réalisée. On a sans doute vu des formulations différentes de celles que nous avons adoptées (on a adopté ici le système légal en France); aussi allons-nous essayer d’analyser les conflits qui portent sur deux points: facteur 4 神, «dimensions» différentes de つ et っ, B et H.

Si un exposé de l’électromagnétisme commence par les équations de Maxwell, il paraît normal d’écrire, sans faire intervenir de coefficient numérique:

avec: face="EU Arrow" っ¹= 﨎⁰ つ¹+ は¹, B¹= 猪⁰H¹+ 猪⁰M¹; la densité de force dans un matériau homogène est:

où ど¹ = 福¹, étant la vitesse des charges; ces équations conduisent à des facteurs C¹ = 1/4 神﨎⁰ et C² = 猪⁰/4 神 dans les lois de Coulomb et Biot-Savart-Laplace.

En revanche, si on considère d’abord ces lois expérimentales, le facteur 1/4 神 paraît artificiel et, en adoptant C¹ = 1/ 﨎⁰ et C² = 猪⁰, on aboutit à:

avec:

la densité de force est:

où ど² = 福² . Les grandeurs つ², っ², H², B², 福², J² de ce groupe diffèrent des grandeurs relatives au premier groupe d’équations, et c’est pour cela qu’on a mis des indices. Les formes «1» sont dites rationalisées parce que les facteurs «4 神» interviennent souvent (pas toujours) plus naturellement: par exemple, la capacité d’une sphère est C¹ = 4 神﨎⁰ R, tandis que, pour les formes «2», cette même capacité devient C² = 﨎⁰ R (c’est le condensateur plan qui s’exprime par C² = S/4 神﨎⁰ d ). Cet avantage n’est pas essentiel.

Le désir de simplifier un exposé commençant par les lois expérimentales peut même conduire jusqu’à faire C¹ = 1 et C² = 1; cette présentation ne rencontre pas de difficulté tant que l’on examine séparément l’électrostatique ou la magnétostatique; en revanche, aussitôt que les phénomènes dépendent du temps, il faut poser:

(c étant la vitesse de la lumière) pour conserver des notations homogènes. On aboutit ainsi à:

avec: face="EU Arrow" っ³= つ³+4 神 は³, B³=H³+4 神M³; la densité de force est toujours:

Dans le système «2», っ² et つ², B² et H² ont des dimensions différentes (présence de 﨎⁰ et de 猪⁰); dans le système «3», au contraire, ces grandeurs ont mêmes dimensions. Ce n’est pas là un point fondamental, mais une simple différence de présentation; les phénomènes essentiels sont les suivants: les forces sont toujours liées à つⁱ et Bⁱ , les charges extérieures et les courants extérieurs (face="EU Arrow" ど) toujours liés à っⁱ et Hⁱ . Signalons cependant qu’il est possible de montrer que つ et っ ont des caractères tensoriels différents (même phénomène pour B et H). Dans le cas simple du vide, つ³ ne peut donc être égal à っ³, même si ces grandeurs ont mêmes dimensions; en principe, on ne peut passer de っ à つ que par une transformation tensorielle, mais, dans le cas du système «3», les facteurs qui interviennent sont sans dimension; en pratique, tant que tous les systèmes d’axes considérés sont orthogonaux, ces raffinements sont sans importance.

En conclusion, nous pensons que l’on peut utiliser n’importe quel système. La pratique montre que l’enseignement secondaire et l’enseignement supérieur (au moins jusqu’au deuxième cycle) sont faits dans le système «1» (système international rationalisé); beaucoup d’articles scientifiques sont encore écrits dans le système «3» (système de Gauss). Pour certains, ce sont les ingénieurs, dans le sens péjoratif du terme, qui utilisent le système «1»; pour d’autres, au contraire, utiliser le système «3», c’est prouver que l’on n’a rien compris à la distinction entre つ et っ.

Encyclopédie Universelle. 2012.